Arithmetic Algebraic Closure: A Rigorous Framework for Explicit Representations in Number Theory
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本文通过构建算术代数闭包，为数论中的显式表示建立了一个全面的框架。在微分代数的基础工作和微分代数闭包的最新进展的基础上，我们将这种方法扩展到具有完全数学严谨性的算术数论。我们提供了算术导数算子的详细构造，推导了带有组合校正项的代数数的显式公式，开发了具有复杂性分析的完整算法，并展示了广泛的数值验证。该框架保持与经典不可能结果的一致性，同时为计算数论应用提供了前所未有的准确性。我们的工作揭示了数论、组合学和微分代数之间的深刻联系，为丰富数学结构中的显式可解性提供了新的视角。主要创新包括：对通用域扩展的算术导数进行严格定义;用于算术代数闭包的构造塔;与 zeta 值有已证明的联系的组合系数;具有保证精度的显式解公式;并通过微分伽罗瓦理论与阿贝尔-鲁菲尼定理完全调和。