Unified Analytic Solution of Transcendental Equations with Inverse Elliptic Functions in Differential Algebraic Closure
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本文建立了一个严格的微分代数框架，用于求解涉及反椭圆函数的解析超越方程，扩展了先前为多项式和初等超越方程开发的方法。我们为任何截断阶数 M 构建了一个定义明确的超越微分代数闭包 K （M） trans，并证明相应截断方程 fM （x） = 0 的根可以在该闭包内解析表达，即使对于包含倒雅可比椭圆函数的方程也是如此。该解公式推广了多项式情况，具有临界点分析、泰勒级数截断、组合校正项和专门适用于逆椭圆函数依赖性的谱分解。我们提供了建设性证明，推导了反椭圆函数的显式导数公式，开发了校正系数γ （M） m 的组合表达式，并提出了详细的 O（M 2） 算法。对具有逆椭圆函数的各种超越方程的广泛数值验证证明了高精度精度，截断方程的残差通常低于 10 −28。这项工作通过证明显式解析解存在于适当扩展的微分代数闭包 K （M） trans 中，即使对于初等函数中无法求解的方程，也与经典的不可能结果相协调。