Unified Analytic Solution of Transcendental Equations Involving Hyperbolic Functions in Differential Algebraic Closure
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本文将求解解析超越方程的统一微分代数框架专业化并扩展到涉及双曲函数的重要方程类别。我们严格构造了任何截断阶数 M 的先验微分代数闭包 K （M） trans ，显式地与双曲正弦和余弦函数以及它们定义的微分关系和代数恒等式相邻。我们证明相应截断方程 fM （x） = 0 的根可以在该闭包内解析表达。该解公式推广了已建立的框架，结合了临界点分析、泰勒级数截断、组合校正项和谱分解，现在适用于双曲函数。我们提供了建设性证明，推导出校正系数γ （M） m 的显式组合表达式，并提出了详细的 O（M 2） 算法。对代表性双曲方程的数值验证显示出高精度的准确性，截断方程的残差通常低于 10 −28，并且与原始根呈指数收敛。这项工作确立了微分代数闭包方法对工程和物理学中普遍存在的一类基本超越方程的实际适用性。